本文是在前人研究的基础上，先总结出矩阵初等变换的方法，及它与初等矩阵之间的联系， 只有知道更多的内在关系，才能高效的掌握应用方法， 再对矩阵初等变换的部分应用进行整理总结，如：矩阵的秩、矩阵的逆、求特征值、求过渡矩阵等，方便系统看出初等变换在具体问题中的应用。

1。矩阵初等变换的方法

初等变换不局限于方程组，可以运用到代数中的更多问题，它与初等矩阵也有着密不可分的关系，以下就来了解初等变换方法的具体内容。

1。1初等变换的定义论文网

矩阵变换有三种最基本的变换的方式，即矩阵初等变换的方法。

定义1[1]： 数域上的矩阵初等行（列）变换说的是以下三种方式：

(1)在中任何不为零的数乘以原矩阵的某行（列），即乘上这行（列）的每个数。（乘第行（第列），可以记作）；

(2)互相交换其中两行（列）的位置。（互换，两行（列），可以记作）；

(3)把任意行（列）的倍加到其余某行（列）相对应位置，这里指中任意数。（把第行（列）的倍加到第行（列），可以记作）。

1。2初等矩阵

定义2[2]： 单位矩阵只进行任意一次初等变换后所化成的形式即为初等矩阵。

（1）互换矩阵的行与行的位置得：。

（2）用数域中非零数乘的第行，有：。

（3）把矩阵的行的倍加到行，有：，

以上为行变换的形式，同样的方法可以得到列变换的形式。

1。3矩阵初等变换与初等矩阵的关系

矩阵初等变换与初等矩阵有着密切的联系，只有清楚的了解其中的关联，才能更好的掌握初等变换的应用方法，以便在解题中灵活使用。

定理1：对阶矩阵进行初等行变换就是在的左面乘以对应 阶初等阵；同样，对进行列变换是在的右面乘以对应阶初等阵。

证明： 只看行变换的情形，列变换时可用同样的证明方法，令为任意一个矩阵，为的行向量，有矩阵的分块乘法，

，分别令（1）；（2）；（3）得：            ， 

因此证得定理1。

2。矩阵初等变换的几种应用

矩阵初等变换的应用很广泛，在运用其方法后，能够让问题变得容易解答，其中一些问题看似难以解决且有一定差异，但用初等变换后可以化成相似的形式，化为一类问题去解答，以下介绍几种初等变换在一些问题中的具体应用。

2。1求矩阵的秩

从之前了解知识知道，初等变换不改变矩阵的秩，经过初等变换把原矩阵化成阶梯形式，阶梯矩阵秩为非零行数，即原矩阵的秩。

定义3： 在矩阵中任选其中行与列，在选中的行、列结点处个元素根据原有顺序形成的级行列式，称作的级子式。

在定义中，当然有，这里表，中最小的一个。文献综述

定理2[3]： 矩阵的秩为的充要条件是它的级子式不为零，且其他任何级子式全都是零。

定理3： 对阶矩阵实行初等变换化成下列形式：，

其中是阶的非零矩阵，表示的零矩阵， 就是的秩。

举例说明矩阵秩的求法。

例1：求下列矩阵的秩。

解：则此矩阵的秩为3。

2。2矩阵的逆

矩阵的逆经常会用到，判断它是否可逆，且可逆情况下求出逆是个基本问题，求逆法也有很多种，有些过于繁琐，不太适用，矩阵初等变换法较简单，适用性广。

2。2。1逆矩阵的定义

可逆阵在线性代数中有着关键作用，从定义上看，求逆的基础方法是，但是伴随矩阵不容易得到，尤其是在阶数较高的时候，这种方法并不适用，以下介绍一种判断矩阵是否可逆的方法。