摘要：本文首先介绍了相关理论以及实验研究背景，然后阐述了整个计算过程并分析了所得理论结果的物理含义，最后对本文的工作进行总结。本文中我们基于多方近似下的三维广义Gross-Pitaevskii方程（GGPE）对处于简谐势阱中的超冷费米气体的动力学模式进行理论计算。我们在没有引入任何可积性约束条件下，通过自相似法推算出可与实验比对的振荡暗孤子解。由于对多方指数的可变性，我们所推算出来的振荡周期在BEC-BCS渡越区中取值不同，这定性地证实了在相关的实验中所观察到的特性。我们基于多方近似下的三维广义Gross-Pitaevskii方程（GGPE）对处于简谐势阱中的超冷费米气体的动力学模式进行理论计算。我们在没有引入任何可积性约束条件下，通过自相似法推算出可与实验比对的振荡暗孤子解。由于对多方指数的可变性，我们所推算出来的振荡周期在BEC-BCS渡越区中取值不同，这定性地证实了在相关的实验中所观察到的特性。

关键词：Gross-Pitaevskii方程；自相似变换；孤子

Abstract：We introduced the related theories and the background of the experiments in the first place. After that we performed the details of calculation and analyzed  the physical meaning of the result obtained, we give a summary for the whole scheme in the end. In this work, based on the polytropic approximation, we model the ultracold Fermi gas in harmonic trapping potential with three-dimensional generalized Gross-Pitaevskii equation (GGPE). Through self-similar approach and without introducing any integrability constraint, we analytically solve the 3D GGPE identifying the oscillatory dark soliton solution. The oscillation period we calculated varies with polytropic index, corroborating qualitatively the feature observed in relevant experimental work.

Keywords: Gross-pitaevskii equation; self-similar transformation; soliton.

目录

第一章绪论 1

1.1超导超流研究背景 1

1.2玻色-爱因斯坦凝聚 3

1.3 BCS理论与Feshbach共振 6

1.4 Gross-pitaevskii方程 8

1.5本文的主要工作 9

第二章计算方法 11

2.1一维Gross-Pitaevskii方程及其暗孤子解 11

2.2三维情形的暗孤子 13

2.3结果与讨论 14

结论 17

致谢 17

参考文献 18

本科阶段发表的论文 22

第一章绪论

自从1995年在实验中实现了玻色-爱因斯坦凝聚（BEC），许多理论工作与实验探测集中于非线性薛定谔方程（NLSE）的研究。尤其是在实验室中Feshbach共振技术的成功实施，使得长期探寻的玻色-爱因斯坦凝聚到Bardeen-Cooper-Schrieffe（rBEC-BCS）的渡越在超冷费米气体的实验中得以实现，给予理论工作者实验上的支持。

1.1超导超流研究背景

如今，有多种技术可以获得超低温，缓冲气体冷却技术、光子缔合光谱技术、磁场调谐技术等技术[1]，能将分子冷却到mK甚至nK量级。但对于二十世纪初，要获得超低温并非是件易事，直到1908年，荷兰物理学家K.Onnes成功液化了4He，并获得了前所未有的低温。1911年，他在研究纯金属电阻率的低温特性时，发现水银的温度在T=4.19K时，电阻突然消失。之后，他发现锡与铅也具有同样的现象，并将该现象描述为超导。由于在低温研究中做出了杰出的贡献，Onnes获得了1913年的诺贝尔物理学家，但获奖理由并非是超导现象的惊人发现，而是他液化了4He。