求出系统特征值可得：



,利用Matlab可解得：

由于系统有一个特征根 10。5949 在S平面右方，根据[6]如果系统的特征根均 位于S平面左方，则此系统是稳定的。反之，只要在特征根中有一个实根或一对 共轭复根位于S平面右方，则相应的系统为不稳定，因为对应于根实部为正的那

部分瞬态分量将随着时间的推移不断增大，并成为系统输出响应的主导部分，从

而使系统运行于失控状态。

利用initial()及step()函数求出系统的零输入响应和阶跃响应：

图 2-2 开环系统的零输入响应

图 2-3 开环系统的阶跃响应

2、系统的能控性

若存在着一个无约束的控制矢量 u(t) ,在有限的时间内，将系统由任意给定 的初始状态 x(0) 转移到状态空间的坐标原点，则称系统的状态是完全能控的，简 称系统能控[6]。

 0 4。76 12。01 391。70  

 0 8。57 25。73 1221。40

ctrl( A, B)  

4。76  12。01  391。70   2245。54

8。57  25。73 1221。40  6141。21 

根据能控性判据：系统 x Ax Bu 能控的充分必要条件为:

rank ([ A, B]) rank([B, AB,。。。, An1B]) n [7]

rank (ctrl( A, B)) 4

满足以上判据，因此倒立摆系统具有能控性。也就是说在

有限的时间内，可以通过施加合适的输入量 u(t) 将系统从任意初始状态转到其他 指定的状态上。

3、系统的能观性

如果输入 u(t) 已知，在有限的时间区间[0, t f ] 内，通过对输出 y(t) 的量测值 能唯一地确定系统的初始状态 x(0) ,则称系统的状态是完全能观的，简称系统能 观[6]。

rank (obsv( A,C )) 4文献综述

根据能观性判据：系统 

(只考虑零输入系统)状态完全能观的充分必





要条件是 rank (o [ A, C]) rank(



 

因此，倒立摆系统能观，也就是说可以在有限的时间内根据对输出量 y(t) 的 测量来确定系统的初始状态 x(t0 ) 。

能控性反映了输入对系统状态的影响和控制能力，能观性反映了输出对系统

状态的识别能力，它们系统本身的内在特性。

3 控制算法及仿真

3。1 PID 控制理论

图 3-1 PID 控制结构图

1、控制器的选择[8]

（1）根据t0比值来选择控制规律

K0e−t0