现在的倒立摆种类多种多样，特性也是数不胜数，不过它们都存在着5种相同的特性[8]：

    (1)非线性：倒立摆系统是一个典型的较为复杂的非线性系统。所以在建模时我们需要对倒立摆系统进行线性化，方便我们后续的设计，控制与计算。线性化后的倒立摆模型是近似模型，当然也不是一定要线性化，也可以用非线性控制理论直接控制倒立摆系统。

    (2)耦合性：倒立摆的摆杆与摆杆之间，摆杆与运动模块之间都有较强的耦合关系。所以要在平衡点附近进行相应的解耦计算，就要忽略一些耦合量[8]。

    (3)不确定性：由于在建立模型时会存在误差，而且机械之间的传动间隙和各种阻力是无法避免的。所以实际控制时，要想办法尽量减小误差[8]。

    (4)开环不稳定性：倒立摆存在有两种稳定状态，即摆杆垂直向下的状态和摆杆垂直向上的状态。垂直向下对应的是稳定平衡点，垂直向上对应的是绝对不稳定平衡点[8]。

(5)约束限制：考虑到倒立摆机械结构、电机力矩、运动模块运动范围等的限制，同时还要控制成本不能过高，所以倒立摆的结构要尽量的小，电机功率也要尽量降低。而且由于倒立摆的运动模块行程是有限的，小车撞边现象很容易出现，这也是现在倒立摆最大的限制。

2。2  一级倒立摆系统模型的建立

一级倒立摆的建模方法有很多种，在动力学上一般用的比较多的有牛顿-欧拉法建模和拉格朗日法建模[8]。本文是采用了牛顿-欧拉法建模。于是建立了如图2-1所示的倒立摆模型，其中皮带由直流电机驱动，小车在皮带上一起运动，以小车的上方中心点为轴心在上安装摆杆，使摆杆能够在竖直的平面上自在的摇摆，再给小车一个方向的作用力，使摆杆能够在摆动过程中达到稳定的竖直向上。 来*自~优|尔^论:文+网www.youerw.com +QQ752018766*

为了便于建模，所以假设除了皮带外摆体、小车、导轨等对象都视为刚体（在运动中受力后形状大小以及内部个点位置不发生改变的物体）；忽略空气阻力与各种摩擦力的干扰，利用力学理论在惯性坐标系中把直线一级倒立摆系统抽象成摆杆和小车组成的系统[9]。

 直线一级倒立摆模型

    假设模型参数， 为小车的质量， 为摆杆的质量， 为小车的摩擦系数， 为摆杆转动轴心倒杆质心的长度， 为摆杆惯量， 为加在小车上的力， 为小车的位置， 为摆杆与垂直向上方向的夹角， 为摆杆与垂直向下方向的夹角，摆杆初始状态为竖直向下。

    使用牛顿-欧拉法倒立摆建模[10]，我们在这里将小车与倒立摆分别进行受力分析并假设 为摆杆与小车之间作用力的水平方向分量， 为小车与摆杆之间作用力的垂直方向分量