3.1.2.1  等温过程计算

进入余药燃烧阶段时，方程仍为（3.5）~（3.7），但燃烧面积和通气面积与余药变化规律相同。当余药燃烧结束时，对应的压强和时间分别为和，燃烧面积，燃烧室自由体积为（为燃烧室长度），计算方程为

积分上式得

等温过程计算的结束点可以认为是压强下降到推进剂临界压强对应的时刻，即结束条件为。如果余药开始燃烧时刻压强就已经低于，则直接进入等熵处理段。

对于等截面圆孔和端面装药，如果没有余药，则，其中是即燃烧结束时的压强。

3.1.2.2  等熵过程计算

当压强降到以下时，可以将排气过程当成等熵流动，使用拖尾方程进行计算。

拖尾段方程

等熵方程为

将作为参考点，利用上式可得到等熵过程任意点的参数，即

令

则有

微分上式，并代入拖尾段方程（3.12），可得

积分得

式中，系数为

等熵排气时，燃烧室内的压强很低，而且下降程度逐渐趋缓。理论上，当压强降低到不满足喷管膨胀流动的力学条件是，计算即可结束。在工程应用中，一般以工作时间为计算结束点。

3.2  数值计算方法及流程

3.2.1  龙格—库塔法

四阶龙格—库塔法具有较高的积分精度，常用与一阶常系数微分方程或方程组的求解。对于一般形式的一阶常系数微分方程

已知在某时刻的函数值为，可以计算出如下四个系数

即下一时刻时的函数值为

这就是龙格—库塔法。其中为时间步长。

3.2.2  计算流程图

内弹道方程（3.5）~（3.7），在定常或准定常假设下为常系数微分方程，可以利用龙格—库塔法求解。计算时，需要已知函数的初值，即时函数值。在固体火箭发动机计算中，一般取点火压强为积分初值，即。取步长，则积分计算过程如图所示[25]。

图3.1  单室双推力发动机零文内弹道压强计算的完整过程

3.3  套管与星孔装药内弹道特性分析

对于套管与星孔装药内弹道计算分析就是分析燃烧室压强随时间变化曲线和发动机推力随时间变化的规律，通过编程计算得到数据[26~27]，作出压力与推力曲线如图3.2所示

图3.2  套管与星孔装药内弹道曲线图

根据所查阅的资料，对于单室双推力发动机的两级工作时间没有明确的规定；所以在本文中，规定第一级工作时间以助推段星孔装药燃烧结束时刻为时间截止点；第二级工作时间以燃烧室压强下降到临界压强为时间截止点。

通过编程计算，得出套管加星孔装药的内弹道性能参数见表3.1。

表3.1 套管/星孔装药内弹道参数

  助推段 续航段

总冲I(N·s) 190123.2 105145.0

比冲(N·s/kg) 2137.36 2410.60

工作时间(s) 6.01 12.22

最大压强(MPa)