某些常微分方程在若干经济领域的应用(2)
供给曲线是指，在其他影响某商品供给的因素（像厂商的生产能力、生产成本）不变的情况下，对于每一给定的价格，生产者所愿意生产的该商品的数量[1]。一般来说，随着商品价格的上升，厂商愿意生产的产品数量呈上升趋势。如图1-1所示，黄颜色直线表示供给曲线，随着商品价格的上升，厂商愿意提供的产品数量逐渐上升。例如：当价格从 增加到 时，商品的供给量从 增加到 。一般来说，供给曲线可以用如下方程表示
，
从图1-1可以很明显的观察到，当消费者对产品的需求量等于厂商愿意提供的供给量时，即
，
此时市场处于稳定状态，稳定状态的价格记为 ，稳定状态的数量记为 。如图所示，若价格某一时刻的价格 ，此时消费者对商品的需求量是 ，厂商对商品的供给量是 ，此时厂商的供给量大于消费者的需求量，即 。由于供大于需，商品的价格会逐渐的下降，直到价格 ，也就是供给量等于需求量。同理，若某一时刻商品的价格小于稳态的价格 ，即供小于需（ ），那么产品的价格就会逐渐上升，直到达到均衡状态 。
通过以上的分析，我们有理由相信，产品价格关于时间的上升率（ ）和需求量与供给量差值（ ）有某种正相关。G•C伊万斯曾提出某种商品的特定市场模型，他认为价格完全是时间函数，即 。因为消费者对产品的需求是价格的函数，即 ；厂商对产品的供给完全是价格的函数，即 。又因为价格 是时间函数，而需求 和供给 是价格的函数，可以认为需求 和供给 是时间的函数，记作 。同时，他还假设 和（ ）成正比，比例系数记作 。用数学表达式如下：
虽然，现实生活中价格关于时间的变动很复杂，这样假设并不影响结论的正确性。为了数学上处理的方便，假设上式成立。
第二章 需求-供给模型
现实生活中，需求和供给关于价格的函数极其复杂。本节将讨论几种简单的供给和需求函数，通过建立数学模型，运用有关的数学知识来处理模型，最后揭示经济领域的规律。
2.1线性需求模型
首先考虑一种简单的函数关系式，如图2-1所示。假设需求是价格的一次函数，消费者的最大需求量记为 ，假设需求的价格弹性系数为 ，表示价格升高一个单位时需求量下降 单位。如图2-1蓝色线所示，随着商品价格的上升，消费者对产品的需求直线下降。由微观经济学的知识，可以写出需求关于价格的函数表达式如下：
，
若供给是价格线性需求函数，假设厂商的最小供给量是 ，供给的价格弹性系数为 ，表示供给和价格正相关，价格升高一单位时供给量上升 单位。如图2-1所示，随着产品价格的上升，生产者愿意提供的产品数量直线上升。那么，根据有关微观经济学知识，可以得出供给关于价格的线性表达式如下：
将（2）（3）两式代入(1)式，整理得到，
，
令 ，整理上式得到，
，
对上式分离变量，得到
，
化简得到，
，
将上面A，B的值代入，得到
，
对价格 取极限，由于 ，得到，
，
通过对上式分析，随着时间的推移，价格 最后会趋于稳定状态。
令，
，
代入式（4）中，整理得到，
，
分析上式，若价格 ，则 ，价格 增加；如图2-1中所示，价格 ，消费者需求大于厂商供给 ， ，价格 上升。若价格 ，则 ，价格增加；如图所示，对于任意价格 ，消费者需求小于厂商供给 ，价格下降。若价格 ，则 ，经济处于稳定状态。