3.2.1康托尔集的生成 16

3.2.2谢尔平斯基三角的生成 17

3.3随机算法 19

3.4非线性映射的迭代生成 19

3.4.1Julia集 19

3.4.2芒德布罗集 21

3.5利用MATLAB生成分形图案 22

4分形几何的应用 27

4.1分形几何在地球地理——地震中的应用 27

4.2分形几何在建筑学的应用 27

4.3分形几何在艺术设计的应用 28

5总结 29

1绪论

1.1 分形几何提出的历史背景

一直以来，传统欧氏几何的研究范围限于直线段、矩形、圆、立方体、光滑曲线、曲面等几何形状。生活中所熟悉的家具、汽车等人造物品都是规则或光滑的形状，但是在其他领域却有着许多非如此的对象，比如参差的灌木、星系分布、布朗粒子运动、海岸线等等。传统欧氏几何学在这些过于复杂、规则又缺少必要数学模型的研究对象面前显得束手无策，直到上世纪七八十年代，科研者们逐渐意识到一个全新的几何领域，一门新的几何学即将破壳而出。

1.2 分形几何的提出以及研究状况

1.2.1 分形几何的提出

1.2.2 分形几何的研究状况

1.3 分形几何的研究意义

1980年盛行的“分形热”一直持续到现在，从未消减。当前分形几何以一种全新的概念、方法和思想广泛应用于自然界、科学界等各个领域。美国物理学大师约翰·惠勒说过：今后谁不熟悉分形，谁就不能被称为科学上的文化人，中国著名学者周海中教授也说过：分形几何不仅展示了数学之美，也揭示了世界的本质，还改变了人们理解自然奥秘的方式[3]。芒德布罗敲开分形的大门后，给人们呈现出一个全新的世界：世界是非线性的，分形无处不在。分形几何学在当今社会的重要性不断提高，并且其科学方法论在今后各领域的研究有着重大的意义。

2分形几何综述

2.1 分形几何——科赫曲线

2.1.1 海岸线与科赫曲线的联系

枫叶不是三角形，海岸线也并非直线，那么这些自然形态该如何测量呢？理查德森曾对海岸线的长度进行过如下测量：设所用尺度为，测得国境线（海岸线）长度为L（），则它们的对数有如下线性关系logL()loglogk，或者L()k，这里面log表示自然对数，是直线的斜率，k0为一个常数[1]。不同国家的国境线（海岸线）所对应的常数及k各不相同，但均有0。理查德森通过该公式发现，L()随着

越来越小则越来越大，这就说明海岸线的长度趋于无穷，理查德森对此感到疑惑，他

开始质疑传统的“海岸线的长度”这样的说法，并且提出“不列颠的海岸线到底有多长？”对此，芒德布罗通过研究分析在他的专著《不列颠的海岸线有多长——统计自相似性和分维数》中提出长度已经不是描述海岸线合适的度量。那么，海岸线为什么不可求长？又该用什么来度量海岸线？