曲线积分与曲面积分的计算方法探究
毕业论文关键词：曲线积分；曲面积分；计算方法；格林公式；高斯公式；斯托克斯公式
The Calculation Method of Curve Integral and Surface Integral
Abstract: This paper introduces the concept of two types of surface integral and curve, and focusing on exploring their calculation methodology. It includes Gauss formula, Stokes formula, Green formula, as well as parameter method, one projection, sub-surface projection, substitution technique method, the primitive method. It makes use of symmetry, and the integration path-independent conditions. It can also be converted to double integral calculus. Finally, it introduces the relationship between the two points and two surface integral curves.
Keywords: Curve integral; Surface integrals; Calculation method; Green's formula; Gauss formula; Stokes formula
目 录
摘要 1
引言 2
1.预备知识 3
1.1 曲线积分的定义 3
1.2 曲面积分的定义 4
1.3 相关公式 5
2.曲线积分的计算方法 6
2.1 第一型曲线积分的计算方法 6
2.2 第二型曲线积分的计算方法 8
2.3 第一型曲线积分与第二型曲线积分的关系 11
3.曲面积分的计算方法 11
3.1 第一型曲面积分的计算方法 11
3.2 第二型曲面积分的计算方法 13
3.3 第一型曲面积分与第二型曲面积分的关系 17
4.结束语 17
参考文献 19
致谢 20
曲线积分与曲面积分的计算方法探究 引言
微积分是一门关于运动和变化的数学, 从本质上而言, 微积分是为了满足力学发展的需要而发明的, 曲线积分和曲面积分在微积分中是比较难的一部分, 它是一元函数积分学和重积分的深化和推广, 比如, 一些分布在直线段上的量可以用定积分求出, 一些分布在平面区域上的量可以用二重积分求出. 在实际问题中, 有些量是分布在曲线上的, 例如, 金属丝的密度是不均匀的, 它的质量就分布在这丝形成的曲线上, 这就需要用到曲线积分；有些量是分布在曲面上的, 譬如, 容器侧面所受的压力分布在侧面上, 这就需要用到曲面积分.
第一型曲线积分来自于物理学上求曲线弧度, 而第一型曲面积分来自于物理学上求曲面块的质量, 但它们的被积函数都为标量函数, 所以, 从物理学的角度看, 第一型曲线积分的定义是求曲线弧度的推广, 而第一型曲面积分的定义是求曲面块的质量的推广. 第二型曲线积分来源于物理上的求变力做功. 它的被积函数是向量函数. 第二型曲面积分来自物理中求流体的通量的问题, 而且它的被积函数也是向量函数, 积分区域的微分也是向量, 这在文献[1][2][3]中有介绍. 它们的积分元素都是由两个向量的内积表示的, 第二型曲线积分是三个定积分的组合模型, 而第二型曲面积分是三个二重积分的组合模型.
第一型曲线积分的定义等同于定积分的定义, 并且它是定积分在定义上的推广. 第一型曲线积分与第二型曲线积分是不同的, 第二型曲线积分是投影在坐标轴上的积分. 第一型曲面积分的定义等同于第一型曲线积分的定义, 而第二型曲面积分的定义与第二型曲线积分的定义也是等同的, 第二型曲面积分是曲面投影在坐标平面上的积分.
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