数形结合思想在中学数学教育的应用
毕业论文关键词： 数形结合；解题能力；数学思想；思文习惯
1 引言数和形是数学研究对象中最古老，也是最基本的，一般来说，把抽象的代数问题和几何图形联系起来，就能很快的找到论证方法，从而求出最终结果；而且几何中有难度的题也可以把它转化为代数问题，从而找到一定的规律与运算方法，便于求解。因此，在日常教学中，我们需要注意培养学生的数形结合的意识，使用数形结合去处理问题的能力，使他们感受到运用数形结合思想能够把复杂的问题简单化，隐晦的数学问题明显化，进而缓解学生对抽象复杂问题的害怕心理同时提高他们的解决问题能力。训练学生应用数形结合思想去思考问题的意识，提高学生应用数形结合解决问题的能力，使他们体会到这种方法的优越性，从而增加他们对数学的兴趣。使学生感到学习数学不是一件枯燥乏的事情，积极动脑思考问题，调动学生学习的积极性。
2 数形结合的定义数与形是数学中研究对象的两个最古老，也是最基本的，它们能够在一定条件下相互转化。可以把中学数学研究的对象分为数和形这两大部分，数和形是有联系的，这种联系我们称它为数形结合， 或着形数结合。 数形结合作为一种数学思想方法， 又可以把它的应用大致分为两种情形：要么是借助于数的精确性来阐明形的某些属性， 要么是借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，或者说数形结合包括两个方面：第一个情形是“以数解形”，而第二个情形是“以形助数”。这个“以数解形”就是有些图形太过于简单，学生如果直接观察却看不出什么规律来，那么这时就需要给图形赋值，像边长、角度等。类似的，如果数的关系我们不能很直观的看出来，我们便可以借助图形来表示题目当中所表示的数量关系或者也可以画出图形，将数量关系用图形来表示，使学生看起来一目了然，有利于问题的解决。
3 数形结合的历史演进根据历史记载，在很久很久以前的欧洲就产生了最初的数形结合思想；一样的，我们国家古代数学家也早已经在解题中运用数形结合，因此数形结合思想在中学的应用十分重要，数形结合的思想几乎贯穿了整个解析几何。数形结合就是根据数学问题的条件与结论之间的内在关系，在分析它代数意义的同时，又分析它们的几何直观，让代数问题和几何直观发生联系，使数学问题由繁化简，由难变易，使同学能够找到更加清晰和快捷的思路去解决数学问题，并且在解题的过程中发现数学的神奇，感受数学问题中蕴含的奥秘，树立对数学的信心以及乐趣。数形结合的关键之处在于数与形之间的相互转化，在代数问题不容易直接解决的时候转化为几何问题，当几何问题没有思路的时候转化为代数问题， 在数与形的相互转化中， 寻找到解决数学问题的最佳思路。因此，在现代数学教学中，我们应该积极去训练学生的数形结合的意识，拓宽他们的思文空间，提升他们的解题能力。
4 数形结合思想的分类数形结合思想大体包括两个情形： 第一个情形是 “以数解形” ， 而第二个情形是 “以形助数” 。
4.1“以数解形” 4.1.1 解决集合问题 在集合的运算中常常借助于数轴、Venn 图来解决集合的交、并、补等运算，从而让问题得以简化，使运算变得快捷明了。例 1某班级有学生 55人，他们中喜欢音乐的 35人，喜欢体育的有 45人，还有 4 个人 既不喜欢体育也不喜欢音乐，则班级中既喜欢体育又喜欢音乐的学生有() 人．如图黑色部分即为所求的既喜欢音乐又喜欢体育的人，两个大圆分别代表喜欢体育又喜欢音乐的人，黄色部分即为 4 人既不喜欢体育也不喜欢音乐的人，大矩形即代表全班 55人 （PS：43 人和 34 人都包括黑色部分）那么这道题就好求了吧设黑色部分为 x 人，则（43-x）+（34-x）+x+4=55解得 x=26 人评析：如果通过 Venn 图来表示集合的交，并，补等运算，那么我们就可以简单明了的看出几个量之间的关系，在处理这类题目的时候，如果运用数形结合的思想可以让学生的思路更加清晰，不但提高了做题的速度，而且提高了正确率，从而有利于学生树立对数学的信心。通过这类题目的训练， 让学生明白， 对于关系比较复杂的问题， 我们可以借助图形来表示各个数量之间的关系，从而发现它们内在的，本质的联系，从而使问题在头脑中有一个清晰的表现，以便学生轻松而又正确地解决问题。4.1.2 解决函数问题在研究函数的性质的时候，通过图像来研究是经常使用的一种方法。函数图像的几何性质例 2 求函数 23 2, 1,3 y x x x 的值域。分析：观察到所求的函数为二次函数，由于这个函数在所给的区间上不是单调的，因此学生并不能直接代入端点值去求出值域，所以需要借助图像来观察，如图：借助这个函数的图像我们可以知道，该函数的值域为 17, 24 评析：对于这类问题是学生的常见出错点，学生们由于习惯于直接带入端点值得出其值域，所以对于给定区间上的二次函数值域问题，使学生养成数形结合的思想是非常重要的，通过这种方法，同学们能够更加清晰的认清二次函数图像以及单调性，单调区间的特点，让学生更好的掌握有关知识，激起他们对数学的热情。通过这道题目的训练学生还应发现，在处理某些复杂的问题时，我们不能想当然，如果不能确定问题的实质，我们可以换个方式，用另外的方式来表示已给的问题表征形式，从而发现问题背后我们不能通过直观感知而发现的问题，通过这种训练，学生不仅拓宽了解题思路，提高了解题的正确性，而且培养了学生细心全面考虑问题的习惯。4.2.1“以形助数”例 3 在一条直线 l上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜着放置的三个正方形的面积分别是 1，2，3，正着放置的四个正方形的面积依次是 S1， S2，S3，S4 ，则 S1＋ S2 ＋S3＋S4 ＝ ．答案 4解析： 第一个正方形与第二个正方形中间的三角形间隙和第二个正方形与第三个正方形之间的三角形间隙是全等的， 即两个间隙之间的三角形是全等的， 如果我们假设七个正方形的边依次为到 ，那么我们可以看出来第二个正方形的边的平方为第一个正方形的边的平方加上两个正方形之间的最长距离， 即 ， 同理， ， ， 又 ， ，，所以 ，而，所以评析：在解答这道题目的时候最关键的是看出第一个正方形和第三个正方形的边的关系，两边的平方的和等于第二个正方形的边的平方，通过这道题应用数形结合的方法，使学生体会到，如果正面直接处理几何问题没有思路的时候，那么可以转化到代数方法，通过解决这类复杂问题，使学生在处理几何问题的时候多了一条高效的途径，并以此获得成功的喜悦，使学生进一步体会几何之美，加强对数学的兴趣。由以上正反两个方面的例子我们可以看出来，在我们处理数学问题的时候，如果能从数与形两方面来考虑问题，我们不仅可以找到解题的方法，还能更好的理解问题，借此发现数学之美，体验成功的喜悦，更加喜欢数学。通过这道题目的训练，可以拓宽学生的思文，让学生知道在处理几何问题的时候， 如果思路不通， 可以寻求代数的方法， 在运用数形结合的思想来思考这类题目后，不仅可以拓宽学生的思文，提高解题效率，而且能培养学生多个角度思考问题的好习惯。
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