无穷积分收敛性的判别方法
毕业论文关键词 无穷积分；收敛判别方法；应用
一、引言
目前，高校通用教材以及一些数学工作者都对某些特殊无穷积分的收敛性进行了研究讨论，但体系较为分散，在许多实际解题过程中，往往不能迅速的找到合适的判别方法，因此有必要将其归纳和整理．以此对无穷积分敛散性判别方法的理解及其应用提供一定帮助．本课题归纳整理无穷积分的判别方法，主要有定义法、柯西准则、比较法则、狄利克雷判别法、阿贝尔判别法、柯西判别法、比式判别法、根式判别法、拉贝判别法、留数判别法以及对非负函数的敛散性判别法、非负减函数的判别方法等．并且举例说明了这些方法在解题中的应用．40886
二、判断无穷积分收敛性的方法及应用举例
1定义法
定义[1] 设函数 定义在无穷区间 上,且在任何有限区间 上可积.如果存在极限
, （1）论文网
则称此极限 为函数 在 上的无穷限反常积分（简称无穷积分）,记作
,
并称 收敛.如果极限(1)不存在,为方便起见,亦称 发散.
例1 判断无穷积分 是否收敛.
解 因为
,
且
,
则该无穷积分收敛，且值为 .
2柯西准则法[1] 无穷积分 收敛 ，只要 ，便有
．
例2 设 为实值连续函数且非负， ，证明 ．
证明 因
，
则有， 当 , 时，有
，
因 在 上连续，故有界，即存在 ，使得 ， ，
因此 ．
又
．
故存在 ，当 时，
即 ．
3 比较法则[1] 设定义在 上的两个函数f和g都在任何有限区间 上可积，且满足
，
则当 收敛时， 必收敛（或者，当 发散时， 必发散）.
例3 判断无穷积分 的收敛性.
解 因为
，
且
收敛，
则由比较法则，得
收敛.
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