欧氏几何公理体系研究(2)
公理：
1.等于同量的量相等.
2.等量加等量，总量相等.
3.等量减等量，余量相等.
4.彼此重合的图形是全等的.
5.整体大于部分.
可以看出，以上内容不仅适用于形也适用于数.在《几何原本》的第五、七、八、九、十卷具体讨论了比例和算术理论等内容.那个时代的《几何原本》并不仅仅是几何，而是整个数学.欧几里得通过对前人智慧结晶的总结和提高，完成了《几何原本》，奠定了数学中公理化思想的基础.在初等几何的内容、思想和方法方面，《几何原本》做出了完善，即使是现在，我们依然会发现中学课本上的几何知识都是以《几何原本》为基础的；在数学发展方面，《几何原本》将原本零散的数学知识组织起来，形成了合乎逻辑的数学体系；在数学科学精神与思想方法方面，公理化的思想和方法在《几何原本》中被重点表现了出来，成为数学公理化思想的开端.
虽然我们用现代教学的眼光来看，《几何原本》的内容都基本正确，很难被推翻，但在逻辑推理的严谨性方面，依然存在着不足.欧几里得之后的数学家们，发现了《几何原本》中的问题，他们试图消除《几何原本》在定义以及逻辑构建上的不足，几何学也在此过程中有了重大的发展.首先，他们尝试证明第五公设，第五公设，简单地说就是有一条直线与线外一点，经过这一点只有一条直线与这条已给的直线平行.这个公设只要随便画图就会觉得相当可信，但要证明它，则很有难度.数学家们对此问题的研究，导致了非欧几何的发现。非欧几何的发现，是数学史上的一个里程碑，它打破了人们对几何的传统观念，在人们的固有思文上提出了新的思路.而在物理学上，它更是直接为爱因斯坦的广义相对论奠定了思想基础.非欧几何出现后，几何学的研究出现了新的高潮.在欧几里得时代，公理是被认为不需要证明的，是显而易见的，而第五公设也是如此.非欧几何的出现打破了这种思想.同时，在几何学公理法领域的研究上，出现了研究热潮，一大批伟大的数学家涌现出来，而其中以希尔伯特（Hilbert David，1862-1943）在欧氏几何公理化方向上做出的贡献最大，以希尔伯特为代表的现代公理化数学更是成为数学发展史上的第三个高峰，公理化方法成为数学中最重要的方法.
希尔伯特于1899年出版《几何基础》一书，该书给出了欧氏几何的公理系统.和欧几里得一样，希尔伯特也是通过总结前人的思想，在欧氏几何古典框架内，提出了现代公理化观点.该书第一章为五组公理，是欧氏几何公理体系的核心，它给出了点、直线、平面三个基本对象，用“关联”、“介于”、“合同于”等词表示点、直线、平面间的相互关系，同时提出了如下五组公理.
第一组为关联公理（也称结合公理或从属公理），共8条.关联关系有两种，其一为点与直线互相关联，其二为点与平面互相关联.第二组为顺序公理（也称次序公理），共四条.介于关系在此组公理中被规定，基于这个关系，直线上、平面上、空间中才有顺序而言.第三组为合同公理，共五条.线段与线段之间以及角与角之间的关系，都可以用“合同”和“相等”来描述，此组公理描绘了合同关系的一些性质.第四组为平行公理，即过直线外一点，至多有一条直线与该直线平行，有了此公理，几何的基础就完整了，相反，否定这条公理，就成了罗氏几何.第五条为连续公理，连续公理使得对线段的长度的定义有了依据，因此，我们就可以将直线上的点与实数建立起一一对应的关系.这五组公理使欧氏几何的逻辑结构变得清晰，是欧氏几何公理体系的主要内容，我们可以将其概括为下表所示.
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