第二章 微分方程

2.1恰当微分方程

我们不妨把一阶分式方程 变成微分方程或将x、y对称看待写成如下形式的一阶微分方程

这里假设M，N在某长方形域里面是关于 的连续函数，且此函数的一阶偏导数时连续的，这样就方便我们来讨论如何求出方程的通解.假如方程（1）的一边刚好是一个二元函数 的全微分，即

那么（1）就是恰当微分方程，且易得（1）的通解就是 其中 为任意常数.

这样我们就会提出如下问题:

1、如何判断（1）是否为恰当微分方程?

2、若（1）是恰当微分方程,怎样求得函数 ?

为了回答以上问题，我们首先观察，如果（1）是恰当微分方程，那么函数 应该具备什么样的性质？

事实上，从（2）中得到将（3）和（4）分别对x、y求偏导，得到