摘要：本文对常数变易法做了一些研究,围绕常数变易法的解释、常数变易法的应用及其推广三方面进行展开.主要研究了常数变易法在一阶非齐次线性微分方程、高阶非齐次线性微分方程及微分方程组的应用;并分别列出实例进行演练;最后在此基础上对常数变易法进行了简单的推广.48627

毕业论文关键词：常数变易法;微分方程;解释;应用;推广

The Study on the Method of Constant Variation

Abstract: The article makes some researches on the constant variation method which includes the interpretations, the applications and the extensions of the constant variation method. The article mainly discusses the applications of the constant variation method in three kinds of linear differential equations, which are first order non-homogeneous linear equation, higher-order non-homogeneous linear equation and linear differential equation group. Finally, the paper presents a single extension of the constant variation method.

 Key words：Method of constant variation; Differential equations; Interpretation; Application; Extension 

  目    录

摘要 1

引言 2

1.常数变易法的解释 3

2.常数变易法的应用 5

2.1 常数变易法和一阶线性微分方程 5

2.1.1. 预备知识 5

2.1.2. 用常数变易法解一阶非齐次线性微分方程 6

2.1.3. 例题演练 7

2.2  常数变易法和高阶微分方程 8

2.2.1 预备知识 8

2.2.2 用常数变易法解高阶微分方程 9

2.2.3. 例题演练 12

2.3 常数变易法和线性微分方程组 13

2.3.1 预备知识 13

2.3.2 用常数变易法解非齐次线性微分方程组 13

2.3.3 例题演练 14

3. 常数变易法的推广 16

3.1 预备知识 16

3.2  用常数变易法解三种特殊类型的一阶微分方程 18

3.2.1 类型一 18

3.2.2 类型二 19

3.2.3 类型三 20

4. 结束语 21

参考文献 22

致谢 23

常数变易法的研究    引言常数变易法最早是由拉格朗日专研出来的 ,主要用于求解微分方程的通解问题.一开始,人们所认识的解决微分方程的方法和类型不仅非常有限,也非常简单,初等积分的方法就是这些方法中的一个,这种方法必须把不同形式的方程化成可以积分的形式.以一阶微分方程为例 ,一阶齐次微分方程 是可以变量分离的,经变量分离可以化成 ,它可以两边积分得通解: （其中c为任意常数）;那么相应的一阶非齐次线性微分方程 ,它的解 是关于未知量 的函数表达式,所以方程右端可以化为 （尽管此时 表达式未知）.通过变量分离将方程化为 ,从这个形式看,它是可以积分的,两边积分得 .但注意,因为其中 未知,所以 是未知的,可记为 ,则该方程的形式解可表示为 ,由此可求可得 的表达式,进而求得形式解,此解也是原方程的通解.通过上面分析,我们可以看出:这两种通解在形式上有些不一样.具体来说,就是后者中的常数 在前者中变易为函数 ,这就是常数变易法的过程.