摘要：泰勒公式的基本思想是用多项式无限接近一个已知函数，是一种局部函数.本文主要介绍了泰勒公式在近似值，极限，恒等式等方面的运用，体现在微分学中化繁为简的功能.

毕业论文关键词：泰勒公式，近似值，极限，恒等式，不等式，高阶导数52747

Abstract: The basic idea of Taylor's formula is to use polynomial to infinitely approach a known and local function. This paper mainly introduces the applications of Taylor's formula on approximate value，limitation，identical equation and so on，which reflects the function of making hard things simple in the differential calculus.

Keywords: Taylor formula，approximation，limit，identity，inequality，higher　order       derivatives

目录

1　引言4

2　泰勒公式的定义4

3　泰勒公式的计算与运用4

3.1　利用泰勒公式计算近似值．4

3.2　泰勒公式在求极限上的运用．5

3.3　利用泰勒公式判断级数的敛散性．5

3.4　恒等式以及不等式的证明．6

3.5　泰勒公式在证明微分中值定理中的运用．8

3.6　利用函数的泰勒展开式求函数在某点处的高阶导数．9

3.7　利用泰勒公式求某些微分方程的解10

结论11

主要参考文献12

致谢13

1　引言

泰勒公式，作为拉格朗日中值定理的一个推广，以其可以将复杂函数转化成简单多项式的功能，大大简化数学计算．泰勒公式在高等数学中占有很重要的地位，尤其在解决一些具体的或复杂的函数的微积分问题时，是一种十分方便的解题手段．下面将通过几个例子说明泰勒公式如何简化高等数学的计算．

2  泰勒公式的定义

设函数 点 的某邻域内具有直到（ ）阶导数.则对此邻域中的每一点 ， 可表示为

 称为 在 处的泰勒公式．

 　当 时， 称为带有佩亚诺(Peano)型余项的泰勒公式．

 　当 =0， 时， 称为（带有佩亚诺型余项的）麦克劳林（Maclaurin）公式．

 　当 在 内存在 阶导函数，则 ， 此时  称为带有拉格朗日型余项的泰勒公式 ．

 　当 =0，  时， 称为（带有拉格朗日型余项的）麦克劳林（Maclaurin）公式．

3　泰勒公式的计算与运用

3.1　利用泰勒公式计算近似值

例1　求 的值（精确到 ）．

分析　根据泰勒展开式的余项解决此类问题时，首先要把所求数化为和函数形式，接着利用在原点展开的带拉格朗日余项的泰勒公式，再取值进行近似计算即可．

解　由于 的带有拉格朗日余项的泰勒公式在原点的展开式为

 ( 介于0与 之间)，

所以

 ( 介于 与 之间)．

要使 ，

故取 即可．          ，

此时误差 ．

3.2　泰勒公式在极限上的运用

例2　求 ．

分析　该式是 型的极限问题，若使用洛必达法则，分子分母需要求导4次，而且越向后计算越加繁琐，若使用带佩亚诺余项的泰勒公式进行求解，则十分简便．

解　    ．

说明在求极限时，当函数形式中未知数次数不高时，使用洛必达法则十分便捷而当函数形式不易求导或者需多次求导且过程异常繁琐时，带佩亚诺形式的泰勒公式结合高阶无穷小，便显现出更大的优势．

3.3　利用泰勒公式判断级数的敛散性

例3　讨论级数 的敛散性．

分析　该级数的正负若直接根据通项判断比较困难，而依据 ，并利用泰勒式公式会使计算变得明朗起来．