解 因为  ,源-自/优尔+文,论`文'网]www.youerw.com

所以 .

即该级数为正项级数 

又因为 收敛,再由正项级数比较判别法可知原级数收敛.

说明当所要判断级数是由不同类型的函数式复合而成时,可以利用泰勒公式并结合放缩技巧将级数通项简化,便于进一步判断敛散性.此外泰勒公式还可以用于判断广义积分的敛散性.

3.4 恒等式以及不等式的证明

例4 设 在 上有连续的二阶导数,且 ,试证

 , 

分析 因为不等式右边具有 ,可以考虑将函数 = 展开为二阶泰勒公式,为便于使用 ,可在点 处泰勒展开,接着再使 , ,此时式子可以得到简化.

证明  ,设 ,

则有 , , , ,

把 在 处展开二阶泰勒公式

其中 在 与 之间, 在 与 之间,接着再分别令 , ,然后相加可得

又因为 在 上连续,再由介值定理可知 ,使得

说明当已知被积函数是二阶及二阶以上可导时,可以使用泰勒公式.其展开式要依据题目中的要求选取适当的展开点,因为泰勒公式为局部函数.展开后,再对泰勒余项做适当的处理即可,一般是运用中值定理.该方法同样适用于不等式的证明.

例5 设 在 上二次可导,且 , ,试求 ,使得 .

证明 因为  的最小值不是在区间端点取得,

所以  ,使得 ,且 ,即 在 处的泰勒展开式为

上一篇:金融数学的发展与现状
下一篇:关于确定参数取值范围问题的若干探讨

浅谈中学数学函数最值问题的求解方法

浅谈圆周率

Taylor公式及其在数学解题中应用

Talor公式在数学解题中的应用

高斯型积分公式的原理

命题公式的主合取范式

判断命题公式类型的方法

医院财务风险因素分析及管理措施【2367字】

志愿者活动的调查问卷表

国内外图像分割技术研究现状

10万元能开儿童乐园吗,我...

神经外科重症监护病房患...

中国学术生态细节考察《...

C#学校科研管理系统的设计

公寓空调设计任务书

承德市事业单位档案管理...

AT89C52单片机的超声波测距...