摘要数学归纳法是数学中一种重要的证明方法，它用有限的思想来把握无限的情况，十分方便有效，因此，它在数学研究和数学教学中都发挥着重要的作用.然而，大多数学生在用数学归纳法证明命题的时候经常会出现错误，而且，出现错误的情况常常会有许多种，在此，本文在先对数学归纳法的基本原理和它的几种常见类型做简要的介绍之后，将会给出典型的、易错的例题进行错误分析，并且还将简要分析每种错误出现的原因，最后总结性的提出简要的建议.52845

毕业论文关键词：数学归纳法  基本原理  变式  错误  原因 

Analysis on Common Errors in the Use of Mathematical Induction

Abstract

Mathematical induction is an important method in mathematics.It is limited to grasp the infinite,which makes it useful.Also,it always plays an important role in mathematics study and mathematics teaching.However,students in proving often go wrong .Meanwhile,there are different types of errers.Because of that,in this paper,the basic principle of mathematical induction and several types will be introduced briefly.After that,typical error-prone examples will be given.I will analyze the errors and give brief reasons for that.Finally,the brief methods of dealing with the errors will be put forward.

Key Words: Mathematical induction  Basic principle  Variant  Errors  Reasons 

目  录

摘要-Ⅰ

Abstract-Ⅱ

目录-Ⅲ

1 数学归纳法的基本原理1

2 数学归纳法的常见“变式”1

2.1第一数学归纳法2

2.2第二数学归纳法（串值数学归纳法）2

2.3跳跃数学归纳法2

2.4反向（倒退）数学归纳法2

2.5跷跷板数学归纳法（螺旋式数学归纳法）2

3 例析运用数学归纳法的常见错误-3

3.1结构性错误3

3.2操作性错误4

3.3任意性错误6

4 常见错误原因分析及建议-10

参考文献-12

数学归纳法是一种重要的证明方法，能高效的解决数学问题.但是，学生往往只是形而上学，出现各种错误.因此，归纳分析数学归纳法运用中的常见错误就变得十分有必要.要想顺利解决问题，首先必须掌握数学归纳法的理论基础及其广泛的应用形式.

1 数学归纳法的基本原理

理解数学归纳法的本质，是理解并灵活运用其的关键，因此，首先要明确它的基本原理.

1889年，意大利数学家皮亚诺(G.Peano)在他发表的《算术原理新方法》中，从未曾定义的“集合”、“后继”、“属于”等概念出发，提出了自然的公理，建立自然数的序数理论，并指出自然数的性质有[1]：

集合 中的元素叫做自然数，如果元素之间存在一种基本关系：“后继”（用“＇”来表示），并且满足下面的公理.

①1∈ ；源-自/优尔+文,论^文'网]www.youerw.com

②对任意的 ∈ ，都存在唯一的 ＇∈ ；

③对任意的 ∈ ， ＇ ；

④任意的  ∈ ，若 ＇  ＇，则   ；

⑤若 ，且

1o 1∈ ；

2o任意的 ∈ ，有 ＇∈ ，

则   .

就这样，皮亚诺不仅以公理形式确保了一个数后继的存在，而且“归纳公理”为数学归纳法提供了一个准确而合理的理论基础，保证了用数学归纳法推证的结果对全体自然数均有效.皮亚诺将数学归纳法原理建立在了卜述事实的基础上:任意一个自然数 后，一定有下一个自然数 ＇.从而，从自然数1开始，通过有限次的此种步骤，定能达到任意选定的自然数n.建立自然数序数理论，奠定了数学归纳法的逻辑基础，也是严格意义下数学归纳法的进一步明确[1].