摘 要：本文论述了泰勒公式的基本内容以及一些基本应用. 而且从一些典型例题具体论述了泰勒公式在数学学习中的应用,从而加深了对泰勒公式的理解.

毕业论文关键词：泰勒公式,常见形式,应用54890

Abstract: The common content and applications of the Taylor formula are discussed in this paper. Based on studying some typical examples, this paper discuss the applications of the Taylor formula in mathematic learning, which could be helped to establish a deeper understanding of the Taylor formula.

Key words: Taylor’s formula, common forms, application 

目   录

1  引言  4

2  泰勒公式  4

2.1  泰勒公式的概念  4

2.2  泰勒公式的余项  5

2.3  常见函数的麦克劳林公式  6

3  泰勒公式的应用  7

3.1  应用泰勒公式求近似值  7

3.2  应用泰勒公式求极限  7

3.3  应用泰勒公式证明等式  8

3.4  应用泰勒公式证明不等式  8

3.5  应用泰勒公式求解行列式的值 10

结论  4 12

参考文献  5 13

致谢  4 14

1  引言

泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数,将其化繁为简,使它成为分析和研究其他数学问题的有力工具. 作者通过参考大量的数学文献,从中搜集了大量的习题,通过认真演算,其中少数难度较大的题目之证明来自相应的参考文献,并对这些应用方法做了系统的总结和概括.由于本文的主要内容是介绍应用,所以,针对泰勒公式的应用讨论了5个问题，分别是： 应用泰勒公式求近似值， 用泰勒公式求极限， 应用泰勒公式证明等式， 应用泰勒公式证明不等式， 应用泰勒公式求解行列式.

2  泰勒公式

2.1  泰勒公式的概念

定理1  假定函数 在点 存在1到  阶的各阶导数，则当  时，有 

 证明  设  可知     .

在下述极限计算中连续 次使用洛必达法则得到      .       

考察上式最后一项（对于这个极限不能再使用洛必达法则，因为我们只假定了函数  在  点有 阶导数，没有假定  在  的附近也存在 阶导数，因而不能保证    在  附近存在导数），经过简单计算可以得到

 .

因此 式的最后一项可以写成

 （其中用到了 的定义）. 将此式代入 便得到 ,即 ，由此立即得到 式,定理2.1所证明的 式称为函数 在点 处的泰勒公式.

2.2  泰勒公式的余项

一种是带有佩亚诺型余项的泰勒公式：

若函数 在点 存在直到 阶的导数，则有 ，即

即函数 在点 处的泰勒公式， 称为泰勒公式的余项

特别地，当 时，即为麦克劳林公式.

另外两种是带有拉格朗日型和柯西型余项的泰勒公式:

假设函数 在 上存在直至 阶的连续导函数，则对任意 ,泰勒公式的余项为

 ,其中 为 与 间的一个值.即有

从而命题对 时真,因而对任何自然数公式都成立. 

推论1   ， 式即为拉格朗日中值公式：

 所以，泰勒定理也可以看作是拉格朗日中值定理的推广．

推论2   在定理1中,若令

则称 为一般形式的余项公式, 其中 ．在上式中， 即为拉格朗日型余项．若令 ，则得

此式称为柯西余项公式．源'自:优尔`!论~文'网www.youerw.com