摘   要：本文总结了范德蒙行列式在行列式计算和微积分、向量空间中的应用,并通过实例加以说明.

毕业论文关 键 字：行列式，范德蒙行列式，空间向量，线性变换.56852

Abstract:This paper summarizes the application of Vandermonde determinant.And it’s combined with the determinant calculation and calculus, vector spaces, and illustrated by examples.

Keywords: determinant, vandermonde determinant,lnear transform,calculus.

目   录

1  引言4

2  范德蒙行列式定义 4

3  范德蒙行列式的应用4

3.1  范德蒙行列式在行列式计算应用4

3.1.1  应用行列式性质计算5

3.1.2  应用乘法规则计算 7

3.1.3  应用升阶法计算10

3.2  范德蒙行列式在其他方面应用11

3.2.1  应用范德蒙行列式在插值多项式中的应用11

3.2.2  应用范德蒙行列式在微积分中的证明12

3.2.3  应用范德蒙行列式确定多项式的系数14

3.2.4  应用范德蒙行列式在向量空间中证明15

结论17

参考文献.18

致谢19

1  引言

    范德蒙行列式作为一种重要的行列式，在计算的过程中可以将一些特殊的或者其他行列式转化为范德蒙行列式，从而能够简化计算.范德蒙行列式的应用也比较广泛，不仅应用于一些行列式的计算当中，而且它可以应用于证明行列式的问题和一些关于多项式方面以及某些特征向量线性无关等问题上.

2 范德蒙行列式

   定义   形如行列式             (2.1)

这样的行列式称为 阶的范德蒙（Vandermonde）行列式.根据递推法容易证明得到

有时范德蒙行列式也可写成

并且有 .

3 范德蒙行列式的应用 

范德蒙行列式不仅形式漂亮，它在许多方面有着重要的应用.

3.1 范德蒙行列式在行列式计算中的应用

首先，范德蒙行列式拥有普通行列式的所有性质.例如：行列互换，行列式不变；以一个数乘行列式的一行（列），相当于用这个数乘此行列式等等.所给行列式各列（或各行）都是某元素的不同次幂，但其幂次数的排列与范德蒙行列式不完全相同，或者少了范德蒙行列式的某一行或列，需利用行列式性质（如提取公因式，调换各行（或各列）的次序,拆行（列）等）将行列式化为范德蒙行列式.源Y自Z优尔W.论~文'网·www.youerw.com

3.1.1  应用行列式性质计算

在行列式的计算中，我们可以利用行列式性质来对形如“范德蒙”的行列式进行转化计算.如果具有范德蒙行列式各项但顺序不同，可以利用行列互换转化成范德蒙行列式的形式进行简便计算.

例1 计算

这个 阶行列式顺序恰好与范德蒙行列式的排列顺序相反的，因此需要行列式中的行列互换公式依次将行列式中的第 与上行交换一直到与第一行为止.第 行与上一 行交换一直到第二行，如此下去.经过了 

次变换后变成了范德蒙行列式.

 解  经过 

次行的交换得到 阶范德蒙行列式，   

我们常常还会遇到行列式中各项部分是范德蒙行列式，我们可以提取部分出来构成新的范德蒙行列式，从而进行简便计算.

例2   计算 阶行列式

  观察数列每一行发现每一行都有共同部分 ，利用行列式的性质提取公因子 行列式得范德蒙行列式的基本形式，根据公式计算.

解   提取公因式 得