事实上，较早的极限思想产生于古希腊，公元前4世纪，古希腊数学家欧多克斯创立了较严格的确定面积和体积的方法——“穷竭法”，提出“如果从任何量中减去一个不小于它的一半的部分，从余部中再减去不小于它的一半的另一部分，这样一直继续下去，则最后将留下一个小于任何给定的同类量的量”。用此法求圆面积异于刘徽的“取极限”过程，圆内接正多边形虽然接近圆，但由于始终有剩余量所以不能成圆，因此最终采用间接证法——双重归谬法解决了求圆面积的方法，即证明待求面积不大于也不小于某一数值。另外，“穷竭法”也可用于求体积，初步含有原始的积分思想。

德谟克利特将哲学上的原子论引入了数学，创立了数学原子论。他认为，线段、面积、立体多是由一些不可分的原子构成的，而计算面积、体积就是将这些“原子”累加起来，该理论带有古朴的积分思想。

古希腊伟大的数学家阿基米德巧妙结合了欧多克斯的穷竭法及德谟克利特的原子论，解决了求几何问题的面积、体积、曲线长等计算问题，同时较精确地求出了圆周率。他利用无限逼近思想，将待求量分成无穷个微小量，与另一组容易求和的微小量进行比较再求和，因此被称为微积分思想的鼻祖。

古代虽然已有极限思想的萌芽，但都没有明确指出极限的概念，这是由当时的生产背景决定的。无论是古希腊还是古代中国，生产力都比较低下，生产工具也比较简单。因此生产过程中产生的问题也易于解决，如力学方面只须研究力的平衡问题，几何学方面只须计算曲线长度或圆形面积等。当时的问题用初等数学便能解决，只有生产实践需要用新的数学思想解决时，才会催生高等数学的产生。

2 极限理论的发展阶段

16世纪，欧洲进入资本zhuyi萌芽时期，生产力不断发展的同时也产生了大量无法用初等数学解决的新问题，如力学中速度与加速度问题、曲线切线问题、变力做功问题、最值问题等等，为极限思想的发展提供环境背景。在极限思想不断发展的过程中，微积分得以建立。

16世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心时改进了古希腊的“穷竭法”，摒弃了传统繁琐的双重归谬法，而是借助几何更加直观地解决了问题，将极限变得更加实用。

17世纪，费马发表了《平面和立体轨迹引论》，通过引进坐标将各种曲线用方程来表示；同时，笛卡尔也引入坐标观念把任意含两个未知数的方程看作平面上的曲线。两人分别从方程出发研究轨迹和从轨迹出发寻找方程，创立了新的数学分支——解析几何。解析几何的创立是数学史上重大发现，它不仅为几何研究提供了新的方法，还将几何与代数完美统一，方便数学问题的研究。不仅几何概念可以用代数来表示，同时还给代数赋予了几何意义，可以更直观地解释数学问题。可以说，将几何与代数结合以后，两者相辅相成，加速了极限思想的发展，为微积分的创立奠定了基础。

解析几何创立以后，英国数学家约翰·瓦里斯成功利用解析方法给出了极限的概念，试图将算术脱离几何表示。1655年，他在《无穷量算术》中首次给出了极限的概念：“变量的极限——这是变量所能如此逼近的一个常数，使得他们的差能够小于任何给定的量。”[5]它对极限的定义虽然不严密，但却提供了正确的思想，为后来研究微积分的学者们开辟了道路，他是微积分学的先驱者。

在众多学者的不屑努力下，微积分学积累了大量的基础，但并没有人能将之完整地整合，因此微积分学并没有完整地创立。需要有人提供将在特殊问题中发现的问题统一起来的理论，于是牛顿、莱布尼兹便发挥了作用。