考虑运动规律为 的运动时，当时间从 变到 时，落体在 到 之间的平均速度为

 ，

令 得在时刻 的瞬时速度为

 ，

记 ，为自变量的改变量，则函数的改变量为 ，则

 。

对于平面曲线 ， 在该曲线上，取 的 点，则 的斜率为

 ，

当 无限接近于 时，将这条直线成为函数在点 的切线，则切线斜率为

 ，

同样，发现 为函数改变量与自变量改变量之比的极限。

因此，对于完全不同的问题，却是完全相同的数学运算，即求出当自变量的改变量趋于零时，函数的改变量和相应的自变量的改变量之比的极限。我们将这种极限称为函数的导数，给出定义：

设有函数 在 附近有定义，对应于自变量的任一改变量 ，函数的改变量为 。此时，若极限来*自-优=尔,论:文+网www.youerw.com

存在，则称此极限为函数 在点 的导数。

3 极限与积分

微积分的又一重要概念积分也是用极限来定义的。

设 是定义在区间 上的有界函数，用点 将区间 任意分成 个子区间 ，子区间及其长度记作 。在每一个子区间上任取一点 ，并作和式 。如果最大的子区间的长度 时，和式的 极限存在，且其极限值与 的分法及 的取法无关，则称 在区间 上可积，此极限值 称为 在区间 上的定积分，记作 ，即

可以说，极限思想贯穿了微积分的全部内容，他的地位无可取代。可以说，微积分就是以极限概念为基础、极限理论为主要工具研究函数的一门学科。