结  论 22

致  谢 23

参考文献 24

第一章 绪论

    恩格斯曾经说过，数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的科学。从恩格斯那时到现在，尽管数学的内涵已经大大拓展了，人们对现实世界中的数量关系和空间形式的认识和理解已今非昔比，数学体系已构成包括纯粹数学及应用数学内含的众多分支学科和许多新兴交叉学科的庞大的科学体系。矩阵作为基础数学工具的一种，在整个数学体系中占据着不可或缺的地位。矩阵不仅作为高等代数学的常见工具，同样也常见于统计分析等的应用数学学科中。矩阵的研究历史相当久远，拉丁方阵和幻方早在史前时代就已经被人类所研究。在经历了日本数学家关孝和、微积分发现者之一戈特弗里德·威廉·莱布尼茨、加布里尔·克拉默、高斯、德国数学家费迪南·艾森斯坦之后，英国数学家凯利首先引入了矩阵的概念来化简记号，规范了矩阵的符号及名称，讨论了矩阵的性质，得到了著名的凯利─哈密顿定理，矩阵理论正式成型。在经历了前人的不懈努力和科技的进步，矩阵的理论体系如今已经得到了长足的发展和完善，并在当代的各个领域当中有着广泛的应用。

在矩阵的迹的理论当中，尤其是矩阵的迹的不等式，在解决实际问题、理论问题的方面有着突出的作用。矩阵的迹的不等式主要以数量和函数的不等式作为主要的讨论对象，再从某一个特定的方面来研究一类数量或矩阵的不等式（见文献【4】）。随着矩阵理论的迅速发展及其在自然科学、工程技术和社会经济等这些领域的广泛应用，关于矩阵的迹的不等式的新结果也是层出不穷，它们有的是经典的不等式的改进、推广，有的则是完全新型的不等式，更有的则是应用的深入和拓广。矩阵的迹的一些重要的不等式包括非负矩阵迹的不等式、Hilbert空间有界线性算子迹的不等式、半正定Hermite矩阵迹的不等式和著名的Neumann不等式及其推广应用(见文献【2】)。

矩阵的迹的应用相对于矩阵的秩、行列式、特征值和条件数来说则要简单许多，然而，矩阵的迹在许多领域都有相当多的应用，如逼近论、数值计算、滤波、随机控制和统计估计等等，许多量的计算都会最终归结到矩阵的迹的运算。因此，矩阵的迹已经成为国内外数学学者关注的一个热点研究。它的无穷奥秘正吸引这国内外学者的一步步探索和研究。

    本文首先给出了一般矩阵迹的相关性质和定理的论证；然后给出了著名的Hermite和Neumann矩阵的迹的性质及其推广证明；最后给出了矩阵幂的迹及其他一些迹的定理，并且介绍了矩阵的迹在逼近论和统计检验这两个方面的应用。

    相关符号表

    矩阵A的转置

    矩阵A的共轭

    矩阵A的共轭转置

    矩阵A的逆矩阵

    ≥0 表示A的半正定矩阵（实对称矩阵或Hermite阵）

    >0 表示A的正定阵（实对称阵或Hermite阵）

    （K） 矩阵A的k阶复合阵

    1/2 半正定A的半正定平方根

    Cn