3。1 定义及相关定理

    设A=为n阶方阵，记A*=，即取共轭同时转置。若A*=A，则称A是一个Hermite矩阵。当A为实矩阵时，Hermite就是实对称矩阵[2]。

Hermite矩阵具有许多类似于实对称矩阵的重要性质。

    定理3。1。1[2]设A为n阶Hermite阵，则

（1）A的所有特征值都是实数；

（2）存在一个酉阵U，即U满足U*U=In，使得U*AU=diag（），

 即Hermite阵一定酉相似于对角阵。

    推论3。1。1[2] 设A为n阶Hermite矩阵，x为n1向量，

那么存在酉阵U，使得酉变换y=U*x把二次型x*Ax化为平方和

=，

其中B=diag（）。

    类似的，我们可以来定义正定的和半正定Hermite阵。

设A为n阶Hermite矩阵，

    若对任意的x∈Cn，x*Ax≥0，则称A是半正定的。记作A≥0。

    若进一步，x*Ax=0，当且仅当x=0，则称A为正定的，记为A>0。

    定理3。1。2[8] 设A为n阶Hermite阵，则A≥0当且仅当下列条件之一成立[6]：

（1）A的所有特征值为非负；