tr 矩阵A的迹

    方阵A的特征值

    矩阵A的奇异阵

第二章 矩阵迹的一般性质及其推广

2。1 迹的定义

nn矩阵A的对角元素和称为矩阵A的迹（trace），记作tr（A）

设有nn阶矩阵A，则矩阵A的迹就等于A的所有特征值的和，即矩阵A主对角线上的所有元素的总和[3]。

    引理2。1。1[2] 设是矩阵A的全部特征值，那么

引理2。1。2[2] 因为相似矩阵具有相同的特征多项式，从而它们具有相同的特征值，

    所以相似矩阵具有相同的矩阵

引理2。1。3[2] 设，则有

2。2迹的性质

（1）线性：设，则对任意a，b∈C，有tr(aA+bB)=atrA+btrB；

（2），=；

（3）设，则；

（4）设A∈Cn*n，且P∈Cn*n为非奇异矩阵，则tr（PAP-1）=tr（P-1AP）=trA；

（5）设A为nn方阵，x为n1向量，则x*Ax=trAxx*；

（6）设为A的特征值，则，；

（7）trA*A=0A=0；

（8）设A≥0，则trA≥0，且等号成立A=0；

（9）设A≥B（即A-B≥0），则trA≥trB，且等号成立A=B；

（10）设A∈Cn*n，且U∈Cn*n为酉阵，则tr（UAUH）=tr（UHAH）=trA；

    定理2。2。1[2] 设A∈Cm*n，B∈Cn*m，则tr（AB）=tr（BA），即性质3。

    证明：不妨设，

当，则

两边均取行列式，得，即

                                                           ①

当时，令，，有上述证明可得

                                                      ②

且有

                                                      ③

                                                  ④

由③④我们得，

                                                       ⑤

                                                    ⑥

将⑤⑥带入②，我们有，得证①

设AB的全部特征根为，BA的全部特征根为则有

    我们再由公式(1)可知，矩阵AB与矩阵BA具有的是相同的非零特征根，区别在于零特征根的重数不一定相同，所以有

得证。

    定理2。2。2[2] 若A为n阶对合矩阵，则，其中，且。

    证明：设是A的特征根，a是A属于特征值的特征向量，则，从而，又因，所以，即，而，所以，即对合矩阵的特征根只有。

我们设A的特征根+1的重数是p，则-1的重数就等于q=n-p，所以有，得证。

第三章 Hermite矩阵迹的性质及其推广

近年来,随着数学本身的发展及其解决实际问题的推动,半正定矩阵问题的研究成为了矩阵研究领域当中的一个重要课题。其中,关于Hermite矩阵的研究更成为了一个活跃的课题。