推论4[3]:  设在可导，且，则在（）至少存在一点，使得。

推论5[3]: 设在可导,在=0处连续,且,则存在,使得=0。

分析：这几条定理主要将罗尔定理的条件进行扩充与推广，从有限区间推广到无限区间或者将扩充到任意端值。

1。3罗尔定理结论的推广文献综述

推论6[4]:若函数和在闭区间上连续，在开区间内可导且=0，则在开区间内至少存在一点ζ，使得。

推论7[5]:设在上连续，内可导，且,则有以下结论 

（1），使，其中为实常数．

（2），使，其中为非零常数．

（3），使，其中为连续函数．

2。罗尔中值定理在解题中的应用

2。1应用罗尔定理证明柯西中值定理和拉格朗日中值定理

例 1 设在区间上连续，在区间内可导,则在开区间内至少存在一点，使得。

而在闭区间上连续，在开区间上可导，且满足罗尔定理，因此，至少存在一点

，使得=0，即得证。

我们很容易知道当时，即=0,展开

即得到拉格朗日中值定理；

当时，=0，即当时有

，即柯西中值定理。 

2。2讨论零点问题和根的个数问题

在研究零点问题和根的个数问题时我们可以通过已知条件和相关定理，结合题目所给条件采用逆向思维法，从而得到题目的证明思路；或通过构造辅助函数，得到一个巧妙地解题思路；或者通过罗尔定理及其代数意义进行推断。

例 2设函数,证明,使 =0。

证明 因为函数在可导,且，易知,使 =0。 例3求证函数在内至少存在一点，使得。

证明 在内可导，

且。得，在内至少存在一点，有。

例 4 设函数在内可导，如果方程有个实根，则方程至少有个实根

证明  设方程=0的个实根由小到大依次为。

在闭区间可导，=0。

满足罗尔定理，论文网

在内至少有一个实根。同理，在中的所有区间内都至少有一个实根，

于是在个开区间中的每个区间内至少有一个实根，

因此，方程至少有个根。

从上面例题的证明情况来看，我们不仅将罗尔中值定理进行了推广，还将罗尔定理在维欧式空间的到了很好的体现，是我们在解题中能够更好的面对多种问题。

例5 证明方程至少有一个实根，其中为任意常数。

证明  (反证法)。设方程有不同的两个实根，且。

则考虑,函数在闭区间上，

由罗尔定理的代数意义可知

在内至少一个零点，使得

，这显然是不可能的，

因此，方程不可能有不同的两个实根，也不可能有重实根，

所以,方程至多仅有一个实根。

例 6 证明曲线与的交点不超过三个。

证明  令

故该问题转化成的零点不超过三个，

假设结论不成立，则至少有四个点，使得，由于上可导，

由罗尔定理代数意义可知

在内至少有一个零点，

又由于在上可导，

由罗尔定理的代数意义可知

\在内至少有一个零点。

同样，由于在上可导，

由于在上可导，

由罗尔中值定理的代数意义可知