矩阵初等变换在高阶微分方程中的应用
毕业论文关键词 高阶非齐次线性方程；线性无关；常数变易法；增广矩阵；初等变换法
1 引言
当我们要求解线性非齐次微分方程的特解时，若该方程的非齐次项符合三类基本初等函数，可以使用算子解法[1]或待定系数法来求特解；若非齐次项在一般情况下则使用常数变易法求特解.而对于线性非齐次微分方程组的特解我们虽可以由常数变易法得到公式[2]
，其中
但在具体计算的过程当中，若按照公式求解，则要涉及到求基本解矩阵 的逆矩阵，此时计算就会相当繁琐．为此本篇文章给出了一种求高阶非齐次线性方程的线性无关特解的矩阵方法，即将高阶微分方程对应的齐次方程的 个线性无关的特解以及该方程的非齐次项组成增广矩阵，并对该函数增广矩阵进行广义的初等行变换，利用克莱默法则求得该方程的一个特解，从而求得非齐次微分方程通解，这种方法比传统的常数变易法计算起来更为简单方便.
2 前期准备
2.1矩阵的初等变换
定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换：
1.互换两行（记 ）；
2.以数 乘以某一行（记 ）；
3.把某一行的 倍加到另一行上（记 ）.
若将定义中的“行”换成“列”，则称之为初等列变换，初等行变换和初等列变换统称为初等变换. 矩阵初等变换的作用是把矩阵化成最简形矩阵，矩阵经过初等行变换可以化成行最简形矩阵.
2.2行最简形矩阵
定义2: 若一个行阶梯形矩阵满足：
（1）每个非零行的第一个非零元素为1;
（2） 每个非零行的第一个非零元素所在列的其他元素全为零。
则称之为行最简形矩阵.
性质1：
（1）行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的.
（2）行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准形.
（3）行阶梯形矩阵也称为行最简形矩阵，即非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都是零.
例子：
利用初等行变换，把一个矩阵化为行最简形矩阵，是一种重要的运算，要解线性方程组只需把增广矩阵化为行最简形矩阵,立刻就可以判断线性方程组是否有解,并且很容易得到方程组的解或其通解