加权余量法及其在微分方程中的应用(2)
1 基础知识
1.1 基本概念和定义
1.1.1 偏微分方程的定义
我们将含有未知函数以及未知函数的某些偏导数的等式叫做偏微分方程.例如，设 是自变量 的未知函数，也就是说关于 的偏微分方程的一般形式是
其中 是关于变量 的已知函数.值得注意的是 可以不显含自变量 和未知函数 但必须含有未知函数 的某个偏导数.涉及到关于几个未知函数及其偏导数的多个偏微分方程构成一个偏微分方程组.
1.1.2加权余量法的基本理论
定义1工程中大量的实际问题往往可以归结为求解带有一定边界条件的微分方程，
一般可将它写为
在 内 （1.1）
其中 是微分算子， 是未知的函数， 是独立于 的已知函数，
是区域.例如，对于二文泊松（Poisson）方程
相应的微分算子是
解微分方程（1.1），通常要有一定的边界条件，边界条件也可以写成一般的形式
在 上 （1.2）
其中S是某个算子， 也独立于 ， 是区域 的边界.
设 是某函数空间的一个完备的函数列，并且其中任何 n个函数是线性无关的，称 是基函数.假设
（1.3）
是问题（1.1）、（1.2）的一个近似解，通常不 会使（1.1）和（1.2）式同时满足，事实上只能要 满足部分边界条件或只满足微分方程，如果 不满足微分方程，将 带入（1.1）式就产生剩余
如果 不满足边界条件，将 代入（1.2）式也产生一个剩余
为简单起见，可先假设 满足边界条件而不满足微分方程，
于是 =0 , 0.现在要求剩余 的加权积分为零，即要求
（1.6）
其中 称为权函数，他们也是线性无关的.（1.6）式是关于 , , …, 为未知数的方程组，解出方程组就得到问题（1.1）、（1.2）的一个近似解 ，这种求近似解的方法称为加权余量法.
如果微分算子 是线性的，即:
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