微分在证明不等式中的主要方法有函数的单调性, 函数极值与最值法, 微分中值定理, 函数的凹凸性等, 下面就结合一些常见的例题分别谈谈以上方法。 

1。 1 利用可导函数的单调性

定理1。 1。 1  设函数 在区间 上可导, 则 在 上递增（减）, 充要条件是

 。 

定理1。 1。 2  若函数 在 上可导, 则 在 上严格递增（递减）的充要条件是

(i)对一切 , 有

 ; 

(ii)在 的任何子区间上 。 

对于该种方法, 我可以总结出使用函数单调性证明不等式的一般步骤:

（1）移项（或等价变形）使得不等式的一端为0, 另一端作辅助函数 ; 

（2）讨论 的导函数 的符号来确定 在给出的区间 上的增减性; 

（3）根据函数的单调性以及区间端点处的函数值即可证明不等式。 

其中步骤（1）是关键, 作出适当的辅助函数 , 值得注意的是步骤（2）, 讨论 的导数 的符号, 有时一阶导数 的符号不能够判断, 这就需要判断其二阶导数的符号, 倘若二阶导数仍旧不能够判断, 再求其三阶导数, 重复上述过程！文献综述

注意:利用函数的单调性是证明不等式的常用方法之一, 与之类似的是利用函数的极值与最值, 但是这里比较的是极值与端点值, 而不是0与端点值。 

例1设对一切 有 ＜ 且 , 证明:当 ＞ 时, 有 ＞ , 而当 ＜ 时, 有

 ＜ 。 

证明: 设 , 则

 ＞ , 

即 是增函数, 且

 , 

故当 ＞ 时, 有

 ＞ , 

即

 ＞ , 

当 ＜ 时, 类似可得

 ＜ 。 

例1可以作为一般定理引用, 再利用归纳法, 可以推广到一般形式:设 与  次可微, 对一切 有

 ＞ , 

且

 ＞ ,  , 

则当 ＞ 时, 则

 ＞ ; 

而当 ＜ 时, 则

 ＜ 。 

下面, 我们来看一个更为具体的例子:

例2 证明不等式:

 ＜ ＜  ＞ 。 

证明: 设 则

 , 

设

则

 , 

于是

 ＞  ＞ , 

 ＞  ＞ , 

所以 在  上是单调增的, 因此, 当 ＞ 时, 有

 ＞ , 

 ＞ , 

于是

 ＜ ＜  ＞ 。 

1。 2 利用微分中值定理

微分中值定理主要有Rolle中值定理, Lagrange中值定理, Cauchy中值定理。 

定理1。 2。 1  （Lagrange中值定理） 若函数 满足如下条件:（i） 在闭区间  上连续; （ii） 在开区间 上可导; 则 上至少存在一点 , 使得

 。  (2)来*自~优|尔^论:文+网www.youerw.com +QQ752018766*

定理1。 2。 2  （Cauchy中值定理） 设函数 和 满足:（i）在 上都连续;（ii）在

 上都可导; （iii） 和 不同时为零; （iv） , 则存在 , 使

 。  (3)

由Lagrange公式特点可以看出, Lagrange中值定理适用于证明含有函数及其导数, 出现函数之差, 自变量差及 的表达式的不等式。 一般来说, 应用最广泛的是Lagrange中值定理。