时代在发展，微分方程的理论研究也在发展。从最初的只是为了求通解的变化为 定性分析，然后变化到多种求解以及分析方法共存的局面。 

状态空间法是控制理论中设立在状态变量这一根本上的对控制系统[3]分析和归 纳的方法，是研究多种状态的复杂系统可靠性的一种有效方法。这不是新产生的研究 理论，它起源于十九世纪。Hamilton 以及 Lagrange 等人在经典力学的相关题目进行

研究的时候提出的广义坐标与变分法。由 Gauss 和其他学者奠基的估计理论、线性代 数以及古典概率等也起到着相等的重要作用。众多的学者为状态空间法的研究和发展 中做出了或多或少的成果，这些成果积累起来后对算法以及分析结果产生了具有决定 性意义的贡献，也让状态空间理论得以迅速发展。发展到现在，状态空间法已经形成 了一整套比较成熟的理论和算法，而且这类计算问题在电脑上已经有比较完善的计算 机软件，在人性化操作界面，用户自定义接口，运算可靠性这些方面的改进和完善， 让使用电脑操作比之前更加方便和容易，状态空间法因此更加富有活力。状态空间分 析法的特性让人们在设计控制系统时，不用仅仅限制于输入量、输出量和误差量，这 相应的提高了系统的性能，并且可以运用计算机来分析，设计甚至实时的掌控系统， 所以可以运用在非线性系统、多输入—多输出系统、随机过程以及时变系统等。 文献综述

在一些微分方程之中，求解通常局限在一类变量的范围之中，这种方法解题的思 路是用各类方法将未知的函数进行消元[4]，最大限度上减少存在的未知量，哪怕是以 提高方程的阶次为的代价。结果自然是给计算解析解带来了些许阻碍，同时，传统的 高阶微分方程很难运用有限元等数值方法来进行求解，这也为数值求解增加了困难。 

状态空间法很好的解决了上面的问题，它通过引入状态变量[5]，添加了新的未知 量，降低了方程的阶次，这样一来求解的计算反而更加趋于理性化。而低阶的微分方 程更加有利于我们进行数值求解，那些增加的未知量不会给运算带来大的影响，因此 运用状态空间法是一种简洁且可行的方法。 

在教科书的常微分方程相关的章节中往往只介绍了一些常用的，常见的解题方法， 这让我们对常微分方程的概念和运用有了一定的了解，但光是了解是不够的。通过对 现代控制理论中的状态空间法的运用，在对常微分方程组求解的过程中，我们可以对 这一原理有更进一步的认知，从而得到自己的见解。 

论文的完成过程也是我学习的一个历程，在写论文的这段时间里发现问题，提出 问题，解决问题，这也是对我个人能力的一个良好的锻炼过程。 

1。2  本文的主要工作 

本文在之前主要介绍了微分方程以及状态空间法的起源和发展，阐述了微分方程 在现代的各个自然科学相关的领域之中的重要的地位。

在第二章将会介绍微分方程以及常微分方程的基本概念，然后针对常微分方程组的求解问题，对如何获得方程通解的方法进行介绍。之后在第三章介绍了常微分方程 的特殊解法：状态空间。对状态空间法的起源，原理和基本概念进行简要的叙述，然 后针对状态空间法的实际运用，给出了该方法的运用实例，然后总结了状态空间法相 应的优势和劣势。来`自+优-尔^论:文,网www.youerw.com +QQ752018766-

第二章  常微分方程 

在对较为复杂的数学模型进行研究的过程中，通常能够导出不止一个的微分方 程组成的方程组，而且通过一些简化的假设和适当的变换，这一类的方程组能够变 换成一阶的线性微分方程组。为了研究这些线性微分方程，需要引入向量和矩阵的 记号，并且广泛的利用线性代数的结果。