Radon测度与积分+文献综述(2)
本文以抽象测度与积分为基础，论证（其中 为局部紧Hausdorff空间） 上Riesz表示定理，并定义其上正线性泛函为Radon正积分，所导出测度为Radon正测度。 上Radon正积分取为Riemann积分时，所导出的Radon正测度即为熟知的Lebesgue测度。作为应用，论证了 上Radon正积分是某增函数的Stieltjes积分。最后，将 上Radon正积分推广至Radon积分，并得到 上Radon积分等同于有界变差函数的Stieltjes积分。
2 预备知识
2.1 度量空间
定义：集 上若存在满足如下性质的映射 ：
当且仅当 则称 为度量空间，其中元素称为点，而满足上述性质的映射 称为 上一个度量。
定义：设 为度量空间， 且 。则称 （其中 为任意正实数）为点 的 邻域，而 称为点 的空心 邻域。
若 ，则点 称为 聚点。若 ，则点 称为 内点。
称为开集[2]，若 中任一点都为其内点。 称为闭集，若 的任一聚点都属于 。 称为紧集，若 的任意开覆盖都含有限子覆盖。 是闭集当且仅当 是开集，据此可得 是开集当且仅当 是闭集。易证任意多个开集的并为开集，任意有限个开集的交为开集。据此及上和De Morgan定律可得闭集类似性质。
现介绍度量空间中与极限相关的概念。定义：设 为度量空间 中序列，则称其收敛的，若 。此外，称 为 的极限 ，记为 。
显然极限具唯一性，且凡收敛序列必定有界。收敛性亦可用点集拓扑概念描述如下： 收敛于 当且仅当 的任意邻域仅不含 中有限项。至于聚点，亦可使用收敛概念来描述：点 是 的聚点的充要条件是 中存在各项互异且异于点 的收敛于 的序列。
Cauchy序列定义：度量空间 中序列 称为Cauchy序列，如果
。度量空间中，收敛序列必是Cauchy序列，反之未必。例如 中序列 极限 是无理数，故是 中Cauchy序列，但不是 中收敛序列。
若度量空间 是紧集，则称之为紧度量空间[3]。它有一重要性质：凡紧度量空间中序列必有收敛子列。据此可推出：凡紧度量空间中Cauchy序列必是收敛序列。而若度量空间中任意Cauchy序列收敛，则称之完备的。显然，紧度量空间是完备度量空间。
下面将叙述度量空间之间的映射的连续性的概念以及连续性与紧性的关系。定义：设 和 皆为度量空间， （其中 ）且点 为集 聚点，若 ，则称映射 在点 的极限为 ，记为 。
若将上述条件中“点 为集 聚点”改为： 后有 ，则称 在点 处连续。而若 在 中每一点都连续，则称 在 上连续。接下来阐述极为有用的一致连续概念：定义：设 和 皆为度量空间，则映射 称为在 上一致连续[4]，如果
。至于一致连续与连续的最本质区别，就是一致连续映射对任一 ，可以找到 ，使得它能适用于 的一切点。
定理：设 和 皆为度量空间，映射 在 上连续当且仅当对 中任一开集 ， 为 中开集（可以将其中开集换成闭集）。
若 是从紧度量空间 到度量空间 的连续映射，则 紧且 在 上一致连续。由此可知，在紧集上，函数的一致连续与连续等价。
2.2 拓扑空间
定义：集 的子集族 称为 上一个拓扑，若满足：
，
若 为 中任意多个元素所成集族，则 ，
。
若集 上存在拓扑 ，则称 为拓扑空间，称拓扑 中元素为开集。 中任意子集称为闭集，若其余集为开集。类似度量空间，用开集来定义紧集。而若 是紧集，则称之为紧拓扑空间。设 ，点 邻域为 中任一包含点 的开集。集 的闭包定义为包含 的最小闭集[5]，记为 （在度量空间中可证明此性质）。由上可见，拓扑空间上所有概念都基于开集，故拓扑空间整个理论体系由开集公理（即定义拓扑的三条性质）演绎而来。度量空间中一切开集构成的集族为其上一个拓扑。实质上拓扑就是对度量空间中一切开集构成的集族的抽象。
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