二重积分中值定理中值点的渐进性及误差分析
关键词 二重积分；中值点；渐近性；误差估计
在微积分领域里，无论是积分中值定理还是微分中值定理都十分重要，他们的应用也日趋广泛.近年来，对积分中值定理中值点渐近性的讨论及其误差估计已经广泛引起国内外学者的关注，并取得了一些进展，其中有人讨论关于积分中值定理中值点的渐近性【1】，有人总结了积分第一、二中值定理中值点渐近性并对其进行误差分析【3】，还有人直接讨论二、三重积分的第二中值定理【5】，也有人将二重积分的中值定理进行了推广，得到不一样的论断【4】.当然还有少数人探索了二重积分中值点的渐近性【4】，并取得了一些成果，本文则是基于之前研究的基础上，在定义了正则中值点 的基础上，利用已有的二重积分中值定理以及前人研究好的渐进性，对其进行误差估计.40572
1 二重积分中值点渐近性
定理【5】：若函数 在有界闭区域 上连续，函数在上可积且不变号，则存在一点 ,使得：
.
文献【2】【4】【6】在之前一元函数积分中值定理中值点研究的基础上，对二重积分中值点渐进性的讨论，并得到如下的结论：
定义【6】：设函数 在区域上 连续，函数 在 连续且不变号，则至少存在一点 ，使得： 论文网
则称 为正则中值点.
定理1【2】：设函数 在区域 上连续，函数 在 上连续且不变号,点 为的边界点 的极限点，且
其中 ,则中值点 有性质
2 误差分析
定理1的结论告诉我们，若满足定理条件，在二重积分第二中值定理 中，当区间长度充分小时, 可用 , 可用近似代替 。那么 或 近似代替“中间点” 或 时，其误差为何？下面的定理给出了误差的估计:
定理2：如果 , 满足：
(1) 在 上可微，且
(2) 在上连续，可积且不变号，且
，
（3）设当 为确定常数且 时， 为正则中值点；
当 为确定常数且 时， 为正则中值点.
若 （ 为确定常数）
（ 为确定常数）
其中 ， , ,则
,( , 确定)； ，（ ， 确定）.
证明：对于固定的常数 （ ）, 时，则正则中值点为 ( 为固定常数)