对于二重极限，其重点是极限的存在性和求解方法。二重极限实质上是包含任意方向的逼近过程，只有保证沿任意方向的极限都存在且相等才能确定二重极限存在，这也是判断二重极限存在性的困难之处；而判定二重极限不存在则只需要确定二元函数沿任意两个方向极限不相等，或者沿至少一个方向极限不存在。由于二重极限过程的复杂性，求解极限的方法复杂多样，并且往往要因题而异。对于不同的极限形式及二元函数的类型，需要采用不同的方法才能方便、快捷地得到结果。此外，区分二重极限与累次极限并了解二者的联系，也是二重极限学习的一个重点，充分把握这两个概念后，就能清晰地发现和理解二者的区别和联系。文献综述

实际上，近几年的国内外许多相关文献就二重极限存在性这个内容进行了较为深入地研究，逐步完善了二重极限的存在性理论；对于二重极限求解问题，国内学者提出并总结了多种方法；此外，也有大量文献讨论了二重极限与累次极限的关系，其中总结的内容较为完整。不过，迄今为止，相关文献尚未系统地提出和总结二重极限的存在性理论以及它的求法。本文是在前人的基础上，通过分析和总结，并结合实例深入思考，就二重极限的相关内容进行了详细的研究，给出了多个二重极限存在性相关定理，并且比较完整地总结了二重极限的求法多类求法及二重极限与累次极限的联系；最后，为说明二重极限的重要性简要地阐述了二重极限与微积分学中其他的一些概念的关系。

2 二重极限的定义及性质

极限概念2000多年的发展历史，根据它在不同时期的特点可大致依次分为四个阶段：朴素、直观的极限观念阶段，神秘的极限思想阶段，严格的极限理论阶段以及极限理论的推广阶段。[1]

下面给出二重极限的精确定义，用ε-δ语言描述如下：

定义1[2] 设f为定义在D⊂R2上的二元函数，P0为D的一个聚点，A是一个确定的实数。若对任给正数ε，总存在某正数δ，使得当P∈Uo(P0;δ)∩D时，都有 

｜f(P) -A｜＜ε，

则称f在D上当P→P0时，以A为极限，记作

                               f(P) =A .                       （1）

在对于P∈D不致产生误解时，也可简单地写作

 f(P)=A.

当P，P0分别用坐标(x,y),(x0,y0)表示时，（1）式也可常写作

 f(x,y)=A.

以上所述的是二重极限的明确的定义，也是极限概念算数化的定义。极限概念的算数化直到十九世纪由德国数学家外尔斯特拉斯完成，该定义彻底地摆脱了几何的直观原型。不过，回首极限发展的这四个阶段，无论是最初朴素极限观的形成和运用，还是如今学习和理解极限概念，都离不开几何直观模型。二元函数的极限概念，作为极限概念的推广，也可结合二元函数的所对应的的空间几何模型对定义1进行几何直观想象,并在此基础上理解该定义的几何意义。来!自~优尔论-文|网www.youerw.com

从邻域的观点看，定义1与一元函数的极限定义几乎是一样的，但结合二者的几何意义可以发现前者P→P0的含义要复杂的多。一元函数在x0处的极限只是指x从左右两个方向趋近x0，而二元函数极限则包含了沿平面上的任意方向趋近(x0,y0)，这是二元函数极限与一元函数极限的区别所在。不过，因为二元函数的极限与一元函数极限在本质上非常相似，所以一元函数极限的许多性质对二元函数极限同样适用，譬如极限的唯一性、局部有界性、迫敛性以及柯西准则等等。例举如下：